Aiutatemi please

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

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Messaggioda Giovanni98 » 15/04/2015, 15:00

Allora sto cercando di risolvere questo maledetto problema ahahah

Trovare qual'e il minimo valore che puo' assumere la somma di 90 numeri reali positivi $x_1, x_2, x_3, ... x_{90}$, sapendo che:

$\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{2^2}{x_2} + \frac{3^2}{x_3} + \frac{4^2}{x_4} + \cdots \frac{90^2}{x_{90}} = 4225$.
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Re: Aiutatemi please

Messaggioda Lasker » 15/04/2015, 15:06

Cosa ti ricordano i quadrati nelle disuguaglianze?
Testo nascosto:
Cauchy-Schwarz sulle cose giuste, per farti venire la quantità data e la somma $\sum x_i\geq \textrm{ qualcosa}$

Oppure, se sei pigro e vuoi il "cannone"ad hoc (anche se è la stessa cosa del primo hint...), c'è
Testo nascosto:
Il "lemma di Titu" di CS, ottimo per le disuguaglianze con frazioni

Che è il modo che ho usato durante la gara per uccidere il problema in 2 minuti, premurandomi di non metterlo come jolly perché "troppo facile" (139 punti alla fine, con il bonus massimo di +20; quando il nostro jolly ha preso un bellissimo -20 :lol: ). Se poi ti piace cannoneggiare e non ti senti soddisfatto, puoi andare di moltiplicatori come il buon Drago, oppure tentare AM-HM-QM-boh sulle cose giuste (credo si possa fare, ma non ci ho ancora provato)
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Aiutatemi please

Messaggioda Giovanni98 » 15/04/2015, 15:15

Ma io l'ho attaccato con Cauchy Schwarz, ma viene $\sum_ix_i \le qualcosa$...shit
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Re: Aiutatemi please

Messaggioda Drago » 15/04/2015, 15:15

E' una bellissima AM-HM su $\displaystyle(x_1,\frac{x_2}2,\frac{x_2}2,\frac{x_3}3,\frac{x_3}3,\frac{x_3}3,\dots)$ ovvero con $1+2+\dots+90=45\cdot91$ termini :D
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Re: Aiutatemi please

Messaggioda Lasker » 15/04/2015, 15:26

Wow, bella soluzione! Devo dire che è una strada che ho abbandonato troppo in fretta, pensando ci fossero furbate eccessive da fare visto che non sfrutto mai la media armonica a dovere (per contro i quadrati/CS erano troppo allettanti per essere ignorati :lol: )
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Re: Aiutatemi please

Messaggioda Giovanni98 » 15/04/2015, 17:22

Senti Lasker, scusami se rompo ancora ma non mi viene, mi scriveresti la soluzione con CS? Grazie :)
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Re: Aiutatemi please

Messaggioda Drago » 15/04/2015, 17:27

Prendi le $n$-uple $\displaystyle(\sqrt{x_1},\dots,\sqrt{x_n})$ e $\displaystyle(\frac{1}{\sqrt{x_1}},\frac{2}{\sqrt{x_2}},\dots,\frac{n}{\sqrt{x_n}})$ ;)
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