Ah,questi primi...

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Ah,questi primi...

Messaggioda Giovanni98 » 18/07/2015, 15:08

Determinare il più piccolo intero positivo $n$ con questa proprietà : comunque si scelgano $n$ interi positivi , tutti aventi solo divisori primi $\le 30$ , ne esistono sicuramente almeno due il cui prodotto è un quadrato perfetto.
Avatar utente
Giovanni98
 
Messaggi: 1255
Iscritto il: 27/11/2014, 14:30

Re: Ah,questi primi...

Messaggioda burt » 18/09/2015, 0:42

Vorrei far finta che è farina del mio sacco , ma sono troppo onesto , è di uno stage che ho visto e qui di so la sol., ed era anche molto carino come esercizzio , pubblico lo stesso la risposta magari per allenarmi a scrivere le soluzioni?
" l ingegno e la furbizia risiedono nell imparare dall esperienza" cit. Roberto colli " la creatività non è altro che l inteligenza che si diverte " albert einstain
burt
 
Messaggi: 346
Iscritto il: 11/06/2015, 23:09

Re: Ah,questi primi...

Messaggioda Giovanni98 » 18/09/2015, 11:08

Va benissimo , pubblica la soluzione :)
Avatar utente
Giovanni98
 
Messaggi: 1255
Iscritto il: 27/11/2014, 14:30

Re: Ah,questi primi...

Messaggioda polarized » 18/09/2015, 13:39

La mia idea:

Testo nascosto:
Creo una tabella nel seguente modo: identifico le colonne con i $10$ primi che ci sono da 1 a 30, le righe con l'$n$-esimo numero e decido di colorare di nero i quadratini della colonna di un fissato primo se e solo se l'$n$-esimo numero ha nella sua fattorizzazione quel primo con un esponente dispari.
Chiaramente se moltiplico numeri che hanno quadratini neri in posizioni differenti non ottengo un quadrato perfetto, altrimenti sì. Al massimo posso ottenere $2^{10}$ disposizioni diverse dei quadratini neri, dopo di ché il $(2^{10}+1)$-esimo numero avrà sicuramente una configurazione già presente per Pigeonhole e moltiplicandolo con il suo "corrispettivo" otterò un quadrato perfetto
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
Avatar utente
polarized
 
Messaggi: 343
Iscritto il: 27/01/2015, 13:53

Re: Ah,questi primi...

Messaggioda Gerald Lambeau » 18/09/2015, 14:53

Vediamo un po'...
Testo nascosto:
I primi sono 10.
Il prodotto di due numeri è un quadrato è pari se e solo se hanno la stessa parità per l'esponente di ogni primo.
Creiamo $2^{10}$ cassetti, uno per ogni combinazione della parità degli esponenti. Con esattamente 1024 numeri se ne può mettere uno in ogni cassetto e per quanto detto prima se non ce ne sono due con la stessa combinazione di parità non ce ne possono essere due il cui prodotto è un quadrato perfetto.
Se ne scelgo invece 1025 per pigeonhole un cassetto ne contiene almeno due e il loro prodotto, per quanto detto prima, è un quadrato perfetto.
Quindi $n=1025$.

EDIT: corretto un typo.
Ultima modifica di Gerald Lambeau il 18/09/2015, 15:37, modificato 1 volta in totale.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: Ah,questi primi...

Messaggioda Gerald Lambeau » 18/09/2015, 15:35

Ok, pensavo che quella di polarized fosse solo un'idea e non una soluzione e quindi non l'ho letta...
Rilancio:
determinare il minimo intero positivo $n$ tale che, comunque si scelgano $n$ interi positivi, tutti aventi solo divisori primi presi da un insieme a scelta di $m$ primi distinti, esistono $k$ interi tra quelli scelti il cui prodotto è una potenza $k$-esima, per ogni scelta di $m$ e $k$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: Ah,questi primi...

Messaggioda Gerald Lambeau » 20/09/2015, 16:13

Nessuno?
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18


Torna a Combinatoria e Probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Bing [Bot] e 0 ospiti