Agli indiani piacciono i baricentri

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Agli indiani piacciono i baricentri

Messaggioda Giovanni98 » 27/03/2017, 8:17

Sia $ABC$ un triangolo e sia $D$ un punto su $BC$ tale che $AB+BD = AC+DC$. Se i baricentri di $ABD$ e $ACD$ con $B$ e $C$ formano un quadrilatero ciclico dimostrare che $AB=AC$.
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Re: Agli indiani piacciono i baricentri

Messaggioda Ale99 » 27/03/2017, 17:58

Le dimostrazioni in sintetica sono le più belle

Testo nascosto:
Hahahahhahahhaha.
Dunque triangolo di riferimento [tex]ABC[/tex] .
Con la formula della distanza ponendo la condizione su [tex]D[/tex] otteniamo che [tex]D=[0;\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2a^2};\dfrac{b^2+a^2-c^2}{2a^2}][/tex] da cui [tex]R=[2a^2;c^2-b^2+3a^2;b^2+a^2-c^2][/tex] e [tex]S=[2a^2;c^2+a^2-b^2;b^2+3a^2-c^2][/tex] ( sono i due baricentri ) ...
Ora imponiamo il passaggio di una circonferenza per i quattro punti e facendo i due calcoli ( veramente, due ) che otteniamo vien fuori l'uguaglianza desiderata ...


Ma era in una gara nazionale? Perché veramente, cosí viene in due minuti senza fare la figura
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Re: Agli indiani piacciono i baricentri

Messaggioda Giovanni98 » 28/03/2017, 10:35

Si...Comunque tutto giusto, però la soluzione in sintetica che ho trovato io é piú figa. :lol:
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Re: Agli indiani piacciono i baricentri

Messaggioda lucaboss98 » 28/03/2017, 18:51

Sarò io che ormai non faccio mai baricentriche, ma non è $D=(0,a+c-b,a+b-c)$?
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Re: Agli indiani piacciono i baricentri

Messaggioda Ale99 » 28/03/2017, 19:06

Si Luca hai ragione, ma non perché io non sappia le baricentriche ma perché a quanto pare per me $(a+b)^2=a^2+b^2$ ... alla fine si semplificava tutto comunque mi sembra quindi boh non ho ricontrollato ... appena posso sistemo i punti
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Re: Agli indiani piacciono i baricentri

Messaggioda Lasker » 28/03/2017, 19:24

Karma
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

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Re: Agli indiani piacciono i baricentri

Messaggioda Ale99 » 28/03/2017, 20:02

Si in effetti a fare il problema n1 di un nazionale tipo Cese ci si dovrebbe sentire un po' sporchi e il karma mi ha giustamente punito ... C'é chi però lo ha fatto a Cese e adesso va alle Balkan dunque il karma é solo una giustificazione per la mia incapacità di sviluppare il quadrato di un binomio ... Riferimenti a Talete puramente casuali
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Re: Agli indiani piacciono i baricentri

Messaggioda lucaboss98 » 31/03/2017, 23:48

(Comunque non serve la formula della distanza, trovi semplicemente $BD$ e $CD$)
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Re: Agli indiani piacciono i baricentri

Messaggioda Vinciii » 05/04/2017, 16:24

Ho trovato una soluzione e vorrei sapere se è corretta.
Testo nascosto:
Siano $M$ il punto medio di $AD$, $P$ il baricentro di $\triangle{ACD}$ e $Q$ il baricentro di $\triangle{ABD}$. La tesi corrisponde a domostrare che $CD=BD$, e quindi che $\triangle{BMC}$ è isoscele. I punti $P$ e $Q$ hanno la stessa distanza da $BC$ (che sarebbe un terzo dell'altezza relativa a $BC$), e quindi $PQ$ è parallelo a $BC$ e $PQBC$ è un trapezio. Dal fatto che le somme degli angoli adiacenti ai lati obliqui e le somme degli angoli opposti sono tutte uguali a $180$ gradi otteniamo $\angle{CPQ}=\angle{PQB}$, che implica che $PQBC$ è un trapezio isoscele, e quindi che $\triangle{BCM}$ è isoscele. (Scusate se è scritta di fretta ed è poco precisa)
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