Accendiamo lampadine!

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Accendiamo lampadine!

Messaggioda Drago » 11/04/2013, 14:58

Abbiamo $n$ lampadine in fila, una dopo l'altra, tutte spente, numerate da $1$ a $n$.
Con la prima mossa premiamo l'interruttore di quelle divisibili per $1$, con la seconda quelle divisibili per $2$, con la terza quelle divisibili per $3$, ecc... fino a fare $n$ mosse.
Quante e quali sono le lampadine accese alla fine?
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Re: Accendiamo lampadine!

Messaggioda Lasker » 11/04/2013, 16:27

Se abbiamo una lampadina in posizione [tex]k[/tex] , alla fine delle operazioni sarà accesa se e solo se [tex]k[/tex] ha un numero dispari di divisori (perché ogni divisore passa una volta su [tex]k[/tex] e ne cambia lo stato)! ;)
Ma se ha un numero dispari di divisori, deve essere per forza un quadrato perfetto, infatti il numero di divisori è il prodotto degli esponenti dei fattori primi ognuno aumentato di [tex]1[/tex], e visto che noi lo vogliamo dispari, tutti gli esponenti devono essere pari.
Ergo le lampadine che saranno accese alla fine sono i quadrati perfetti [tex]\leq\ n[/tex] e sono esattamente [tex]\lfloor \sqrt{n} \rfloor[/tex] 8-)
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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Re: Accendiamo lampadine!

Messaggioda Drago » 11/04/2013, 16:38

Perfect! :D
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