400 anni di studi in nostro aiuto

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

400 anni di studi in nostro aiuto

Messaggioda Half95 » 26/03/2014, 20:16

Un problema facile facile:)

[tex]2^n+3^n=5^n[/tex].
con $n$ appartenente a [tex]\mathbb{N}_0[/tex][/quote]
Trovare i valori di $n$
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Re: 400 anni di studi in nostro aiuto

Messaggioda lucaboss98 » 26/03/2014, 20:29

[tex]n≥1[/tex] (basta vedere [tex]\mod{2}[/tex] )
[tex]2^n \equiv –(–2)^n \mod{5}[/tex] allora [tex]n[/tex] è dispari.
Poi [tex]2^n = 5^n - 3^n = 2 \cdot (5^{n-1} + 3 \cdot 5^{n-2} + . . . + 3^{n-2} \cdot 5 + 3^{n-1})[/tex] ,
ma essendo [tex]n[/tex] dispari [tex]5^{n-1} + 3 \cdot 5^{n-2} + . . . + 3^{n-2} \cdot 5 + 3^{n-1}[/tex] è una somma di un numero dispari di addendi dispari, quindi dispari.
Ne segue che non ci sono soluzioni a meno che quella somma non valga [tex]1[/tex] , quindi quando [tex]n=1[/tex] che è l'unica soluzione.
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Re: 400 anni di studi in nostro aiuto

Messaggioda Livex » 26/03/2014, 20:32

Oppure per [tex]n=2[/tex] non ci sono soluzioni, per [tex]n=1[/tex] si, per [tex]n\ge 3[/tex] non ci sono soluzioni per l'ultimo teorema di fermat :D
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Re: 400 anni di studi in nostro aiuto

Messaggioda lucaboss98 » 26/03/2014, 20:34

Livex ha scritto:Oppure per [tex]n=2[/tex] non ci sono soluzioni, per [tex]n=1[/tex] si, per [tex]n\ge 3[/tex] non ci sono soluzioni per l'ultimo teorema di fermat :D


Vero, e pensare che quando ho letto il titolo ci avevo pure pensato :oops: :oops:
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Re: 400 anni di studi in nostro aiuto

Messaggioda Half95 » 26/03/2014, 20:37

Livex ha scritto:Oppure per [tex]n=2[/tex] non ci sono soluzioni, per [tex]n=1[/tex] si, per [tex]n\ge 3[/tex] non ci sono soluzioni per l'ultimo teorema di fermat :D

il problema l' avevo messo apposta ovviamente :D
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Re: 400 anni di studi in nostro aiuto

Messaggioda Salvador » 14/04/2017, 18:45

Per $n>1$ è necessario che sia pari (basta vedere mod 4 l'equazione).
Quindi si ha $2^{2m}+3^{2m}=5^{2m}$, ovvero $2^{2m}=5^{2m}-3^{2m}=(5^m+3^m)(5^m-3^m)$, quindi imponendo $5^m+3^m=2^a$ e $5^m-3^m=2^b$ con $a\ge b$ sommando si ha $2 * 5^m = 2^a+2^b$, $5^m = 2^{a-1}+2^{b-1}$, che chiaramente necessita di un numero dispari a destra che si ha solo per $b=1$. Ma allora $5^m-3^m=2$, da cui $m=1$ e $n=2$,il quale però non soddisfa, per cui $n=1$ è l'unica soluzione.
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