4. Dado Rotolante

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

4. Dado Rotolante

Messaggioda nil » 25/07/2013, 16:10

In quanti modi , lanciando un dado a 6 facce (tutte equiprobabili) per 10 volte , si può ottenere come somma 13?
(E quant'è la probabilità che avvenga?)

P.S. (1,1,1,1,1,1,1,2,2,2) è diverso da (1,1,1,2,1,1,1,2,2,1)
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Re: 4. Dado Rotolante

Messaggioda Lasker » 25/07/2013, 20:56

Come prima idea, tipica delle gare a squadre, ho pensato:<<Non possono essere tanti>> :lol:
Cominciamo!
Distinguo fra i seguenti casi, in base al lancio "più alto"

$(4,1,1,1,1,1,1,1,1,1)\longrightarrow 10$ permutazioni
$(3,2,1,1,1,1,1,1,1,1)\longrightarrow 90$ permutazioni
$(2,2,2,1,1,1,1,1,1,1)\longrightarrow 120$ permutazioni
Quindi in totale dovrebbero essere:$10+90+120=220$
Per la probabilità, visto che ogni dado può assumere $6$ valori, dovrebbe valere:
$$\frac{220}{6^{10}}=\frac{55}{186624}$$
Spero sia giusto!
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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Re: 4. Dado Rotolante

Messaggioda nil » 26/07/2013, 14:21

Well done! :D

Una soluzione alternativa :

Se le combinazioni sono tante può essere utile : Partition of Integers

L'idea è quella di associare ai vari casi una funzione generatrice , in questo caso abbiamo 10 lanci il cui valore varia tra 1 e 6.
Perciò la funzione generatrice sarà $(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^{10}$.
Trovando il coefficiente di $x^{13}$ abbiamo i modi in cui si possono sommare questi numeri per fare appunto 13. (E' utile pensare all'esponente della $x$ come un "segnalino" che sommato con altri da il risultato).

Perciò svolgendo i conti abbiamo :
$\displaystyle x^{10}(\frac{1-x^6}{1-x})^{10} = x^{10}(\frac{1}{1-x})^{10}(1-x^6)^{10}$

Lo sviluppo binomiale di $(1-x^6)^{10}$ ha come termine $x$ con esponente più basso $x^6$ che sommato con $x^{10}$ fa $x^{16}$ e quindi non ci interessa.
L'unico modo di ottenere 13 è quindi di sommare $x^{10}$ (che ha coefficiente 1) con l' $x^{3}$ presente in $(\frac{1}{1-x})^{10}$.

Siccome $x$ è un valore arbitrario tra i reali , possiamo supporre $|x| < 1$. Perciò lo sviluppo binomiale di $(\frac{1}{1-x})^{10}$ è :
$\displaystyle {9 \choose 9} + {10 \choose 9}x + {11 \choose 9}x^2 + {12 \choose 9}x^3 + \dots$

Quindi il coefficiente di $x^{13}$ è ${12 \choose 9} = 220$ , da cui la probabilità $\frac{220}{6^{10}}$

Posta il prossimo problema ;)
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Re: 4. Dado Rotolante

Messaggioda Livex » 26/07/2013, 22:25

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