#22 cesenatico 2017

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

#22 cesenatico 2017

Messaggioda Venux » 17/10/2017, 18:02

Siano a, b, c, d,e,f,g,h le soluzioni reali dell'equazione x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)(x−7) = 1.
Quanto vale la somma a^7+b^7+c^7+d^7+e^7+f^7+g^7+h^7?
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Re: #22 cesenatico 2017

Messaggioda Paperottolo » 17/10/2017, 18:30

se non ho sbagliato nulla la risposta è
Testo nascosto:
304

se è quella metto la dimostrazione.
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Re: #22 cesenatico 2017

Messaggioda Lasker » 17/10/2017, 18:53

Beh le ultime 4 cifre sono quelle (anche se il numero è un altro), posta! Anzi, io sarei per postare in ogni caso, visto che anche una strategia sbagliata può dare idee
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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Re: #22 cesenatico 2017

Messaggioda Dudin » 17/10/2017, 19:34

Ciao posto la mia soluzione
(spoiler per non rovinare il problema a chi sta provando)
Suggerimento
Testo nascosto:
formule di viete



Soluzione
Testo nascosto:
Partiamo da (a+b+c+d+e+f+g+h)^7 = a^7 + b ^ 7 + c^7 +d^7 +e^7 +f^7 +g^7+h^7 + k
(k è qualcosa che non ci interessa e che dobbiamo sottrarre da (a+b+c+d+e+f+g+h)^7 per ottenere il risultato cercato).

Osserviamo che k NON DIPENDE dal prodotto delle 8 radici... infatti (a+b+c+d+e+f+g+h)^7 dipenderà al più dal prodotto di 7 radici diverse (perchè possiamo "scegliere" una radice da ogni fattore ma le radici sono 8 e i fattori sono 7 perchè stiamo elevando alla settima)


Inoltre osserviamo che sottraendo uno al nostro polinomio l'unica cosa che varia è il termine noto (che appunto per le formule di viete corrisponde al prodotto delle 8 radici)

Quindi calcolare (a+b+c+d+e+f+g+h)^7 - k sarebbe la stessa cosa di calcolarlo con il polinomio x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)
Ma le radici di questo polinomio le conosciamo bene quindi il risultato è semplicemente 0^7+1^7+2^7+3^7+4^7+5^7+6^7+7^7


Spero di essere stato chiaro :)
Dudin
 
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Re: #22 cesenatico 2017

Messaggioda Paperottolo » 18/10/2017, 5:47

esattamente come ha fatto dudin :D
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