21. Ancora monete false

Esercizi sulla verità delle proposizioni e problemi che non sembrano rientrare in nessun'altra categoria.

Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda cip999 » 09/02/2015, 20:34

Già, mi sa tanto di sì... :D
Non so con quali armi si combatterà la Terza Guerra Mondiale, ma la Quarta sì: con bastoni e pietre.
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Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda Federico II » 09/02/2015, 21:50

Le soluzioni che avete postato sono tutte sbagliate, perché c'è una strategia anche per:
Testo nascosto:
$k>3^{n-1}$ (non dico il numero preciso).
Poi devo dire che in realtà non avete trovato la soluzione nemmeno per $k=3^{n-1}$, perché se usi le prime due pesate per vedere se la moneta falsa pesa di più o di meno di quelle vere e poi trisechi sempre alla fine ti viene $k=3^{n-2}$.

Per il procedimento che è stato postato, la dimostrazione del fatto che con $2^n$ palline è possibile è giusta, ma quella del fatto che con $2^n+1$ non è possibile è sbagliata, infatti c'è una strategia anche per $k=2^n+1$ e per altri valori (non dico fino a dove). Per il momento non dico nemmeno l'errore nel procedimento, perché darei un hint abbastanza corposo e almeno per ora preferisco di no.
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Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda Gerald Lambeau » 09/02/2015, 21:56

Veramente per [tex]k=3^{n-1}[/tex] ripercorrendo le pesate al contrario mettiamo che dopo [tex]m[/tex] pesate (cioè [tex]3^m[/tex] monete per gruppo) hai i tre gruppi da cui eri partito che li rimetti insieme con altre due pesate, perciò [tex]m+2=n[/tex], ma le monete sono [tex]3^{m+1}=3^{n-1}[/tex], o sbaglio? Cioè con le prime due pesate sia valuti se la moneta pesa di più o di meno sia trisechi.
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Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda Federico II » 09/02/2015, 22:07

Sì se fai le prime due pesate in modo intelligente arrivi anche a risolvere il caso $k=3^{n-1}$, ma vi ripeto che c'è una soluzione migliore...
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Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda xXStephXx » 09/02/2015, 22:25

Era un esempio buttato lì, ovviamente si trova pure in quale gruppo sta la moneta falsa, ma non saprei quale sia il metodo migliore, se domani ho tempo provo a pensarci :D
Comunque volendo si arriva a $3^{n-1}$ + $qualcosina$ usando quel metodo più lasciare 2-3 monete da parte, ma immagino valga la pena cercare una soluzione che aumenti pure l'ordine di grandezza :mrgreen:
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Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda Federico II » 09/02/2015, 22:26

Comunque vi do un piccolo aggiornamento: $n,\ k\in\mathbb{Z^+}$, senza nessun limite minimo fissato (a parte ovviamente $k\geq2$).
(Non disperatevi, capite bene che se un ragionamento era corretto prima lo è anche adesso)
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Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda Federico II » 11/02/2015, 13:22

Ancora nessuno che riesce a risolverlo o che ha qualche idea?
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Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda Federico II » 13/02/2015, 23:21

Dai non è poi così difficile... se volete qualche hint o la soluzione numerica fatemi sapere.
PS: Anche gli stagisti e i veterani sono autorizzati a postare la loro soluzione se ce l'hanno :D
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Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda xXStephXx » 14/02/2015, 0:58

Non so dipende da quanto sia palloso o meno trovare una soluzione esplicita :P

Sicuramente puoi dimostrare di non poter mettere più di $\displaystyle \frac{3^n-1}{2}$ monete. Se riesci a farlo con esattamente quelle monete in modo non brutto, dimmelo subito e potrei pure... forse...... provarci.
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Re: 21. Ancora monete false

Messaggioda Federico II » 14/02/2015, 11:26

Testo nascosto:
Sì, la soluzione è quella, e trovare un modo per farlo non è poi così brutto...
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