[Febbraio 2018] 17 - Stavolta il geometrico è difficile

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

[Febbraio 2018] 17 - Stavolta il geometrico è difficile

Messaggioda Venux » 22/02/2018, 20:43

Sia ABC un triangolo e P un suo punto interno. Sia H il punto sul lato BC tale che la bisettrice dell'angolo AHP è perpendicolare alla retta BC. Sapendo che ABC=HPC e BPC=130°, determina la misura dell'angolo BAC.
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Re: 17 Cesenatico 2018

Messaggioda FedeX333X » 22/02/2018, 20:58

Sketch (se vuoi spiego i passaggi):

- Sia $P'$ il simmetrico di $P$ rispetto a $BC$.
- $A, H, P'$ sono allineati
- Per costruzione, $\angle HP'C=\angle HPC= \angle ABC$
- Ma allora i punti $P'$ e $B$ vedono il segmento $AC$ sotto lo stesso angolo, quindi $ABP'C$ è un quadrilatero ciclico (inscrittibile in una circonferenza)
- Per costruzione, $\angle BP'C=\angle BPC = 130^{\circ}$, dunque essendo $ABP'C$ ciclico, $\angle BAC$ è il supplementare di $BP'C$, e misura quindi $180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$.
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Re: 17 Cesenatico 2018

Messaggioda Venux » 22/02/2018, 21:07

Nah tranquillo, ho capito. C'era un modo per farlo senza costruire nulla?
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Re: 17 Cesenatico 2018

Messaggioda FedeX333X » 22/02/2018, 22:48

Venux ha scritto:Nah tranquillo, ho capito. C'era un modo per farlo senza costruire nulla?


Si certo!

Basta osservare che i triangoli $PHC$ e $BHA$ sono simili (hanno $\angle HPC=HBC$ per ipotesi e l'angolo $\angle PHC=\angle BHA$ congruente per somma di angoli congruenti), da cui $CH:PH=AH:BH$ e $\angle PCH =\angle BAH$ perché corrispondenti. Ma allora $AHC$ e $BHP$ sono simili perché hanno due lati in proporzione e l'angolo fra essi compreso per differenza di angoli congruenti. Quindi, $\angle CAH=\angle PBH$ perché corrispondenti. Ma allora, considerando il triangolo $BCP$, $\angle BAC= \angle CAH+\angle BAH=\angle PBH+\angle PCH = 180^{\circ}-\angle BPC=50^{\circ}$.
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