[Febbraio 2018] 15 - La privazione di cifre

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[Febbraio 2018] 15 - La privazione di cifre

Messaggioda afullo » 22/02/2018, 19:18

TESTO

(a) Trovare tutti gli interi positivi $n$ di due cifre che godano della seguente proprietà: entrambi gli interi che si ottengono cancellando una delle due cifre della rappresentazione decimale di $n$ sono divisori (interi positivi) di $n$.

(b) Sia $n>10$ un intero che si scrive con $k$ cifre decimali, tutte diverse da zero. Supponiamo che ciascuno degli interi ottenuti cancellando una delle $k$ cifre della rappresentazione decimale di $n$ sia un divisore (intero positivo) di $n$. Mostrare che necessariamente $k=2$.

SOLUZIONE

(a) Sia $n= \overline{ab}=10a+b$ (con $a\neq 0$) un intero di due cifre con tale proprietà, dove $a,b$ sono cifre decimali. Per ipotesi, abbiamo che $a\mid (10a+b)$ e $b\mid (10a+b)$, cioè che $a\mid b \Rightarrow b=ka$, che sostituito nella seconda, ci da $b=ka \mid 10a \Rightarrow k\mid 10$, cioè $k=1,2,5,10$. Poiché si deve avere $b=ka<10$, tutti i tali interi sono per $k=1$ $11,22,33,44,55,66,77,88,99$, per $k=2$ $12,24,36,48$, per $k=5$ $15$ e per $k=10$ nessuno (poiché $a\geq 1$).

(b) Sia $n=a_{k-1}\cdot 10^{k-1}+ a_{k-2}\cdot 10^{k-2} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0 = 10(a_{k-1}\cdot 10^{k-2} + a_{k-2}\cdot 10^{k-3} +\dots + a_1) +a_0$ un intero di $k$ cifre con tale proprietà dove $a_i \neq 0 \forall i=0,1,\dots , k-1$. Si consideri l'intero $m=a_{k-1}\cdot 10^{k-2} + a_{k-2}\cdot 10^{k-3} +\dots + a_1$ ottenuto togliendo a $n$ l'ultima cifra. Per ipotesi si deve avere che $m\mid n$; ma $n=10m+a_0$, da cui si deve avere che $m\mid a_0$. Dunque, o $a_0=0$ (che però è impossibile per ipotesi), o $m\mid a_0 \Rightarrow m\leq a_0 \leq 9$. Dunque $m$ è un intero di $k-1=1$ cifre, da cui otteniamo che $k=2$.
afullo
 
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