103. [L02] $-1$

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

103. [L02] $-1$

Messaggioda Gerald Lambeau » 04/01/2016, 17:51

Visto che mi è stato dato il permesso, posto.
Dato un quadrato $2n \times 2n$ diviso da righe parallele ai lati in $4n^2$ quadretti di lato $1$, sappiamo che in tutti i quadretti tranne che nel secondo da sinistra nella prima riga dall'alto c'è un $1$. Nel secondo quadretto da sinistra nella prima riga dall'alto c'è un $-1$. Le mosse possibili sono: cambiare tutti i segni di una riga, cambiare tutti i segni di una colonna, cambiare tutti i segni di una parallela a una delle due diagonali, in particolare anche i vertici (se serve spiego meglio l'ultima mossa).
Dimostrare che, qualunque sequenza di mosse venga effettuata, ci sarà sempre almeno un $-1$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: 103. [L02] $-1$

Messaggioda bern1-16-4-13 » 04/01/2016, 18:17

Per induzione viene veramente in un attimo. Prendiamo un quadrato di lato [tex]2n[/tex] e un altro di lato [tex]2n+2[/tex]. Facciamo in modo che abbiano il vertice in alto a sinistra che coincide, e anche due dei quattro lati. Per ipotesi induttiva non si possono rendere positive tutte le caselle del quadrato più piccolo applicandogli delle mosse. Supponiamo però per assurdo che con delle mosse applicate al quadrato più grande possiamo rendere positivo tutto il quadrato piccolo. Ognuna di queste mosse al quadrato grande però, nel caso in cui alteri le condizioni di almeno una delle caselle del quadrato piccolo, potrebbe essere sostituita con una mossa sul quadrato piccolo che altera esattamente quelle caselle del quadrato piccolo. Ma questo è assurdo poiché per ipotesi induttiva non era possibile rendere completamente positivo il quadrato più piccolo solo con mosse a lui applicate
mentre il mondo persiste nei suoi sanguinosi conflitti, la vera guerra è combattuta dai matematici
bern1-16-4-13
 
Messaggi: 179
Iscritto il: 27/11/2014, 22:10
Località: Firenze

Re: 103. [L02] $-1$

Messaggioda bern1-16-4-13 » 04/01/2016, 18:19

Comunque bisogna supporre n>1, perché altrimenti la tesi è falsa
mentre il mondo persiste nei suoi sanguinosi conflitti, la vera guerra è combattuta dai matematici
bern1-16-4-13
 
Messaggi: 179
Iscritto il: 27/11/2014, 22:10
Località: Firenze

Re: 103. [L02] $-1$

Messaggioda bern1-16-4-13 » 04/01/2016, 18:22

ci sarebbe anche da far vedere il passo base con n=2...
mentre il mondo persiste nei suoi sanguinosi conflitti, la vera guerra è combattuta dai matematici
bern1-16-4-13
 
Messaggi: 179
Iscritto il: 27/11/2014, 22:10
Località: Firenze

Re: 103. [L02] $-1$

Messaggioda Gerald Lambeau » 04/01/2016, 18:26

Io son qui che aspetto, tranquillo che non scappo.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: 103. [L02] $-1$

Messaggioda bern1-16-4-13 » 04/01/2016, 18:36

Ok, poniamo [tex]n=2[/tex] (quadrato di lato [tex]4[/tex]).
Consideriamo la cornice di quadratini che si trova sui bordi, senza però considerare i 4 quadratini ai vertici. Ogni mossa agisce o su 0 o su 2 di questi quadratini, quindi si ha un assurdo modulo 2. Ecco il passo base :D
mentre il mondo persiste nei suoi sanguinosi conflitti, la vera guerra è combattuta dai matematici
bern1-16-4-13
 
Messaggi: 179
Iscritto il: 27/11/2014, 22:10
Località: Firenze

Re: 103. [L02] $-1$

Messaggioda bern1-16-4-13 » 04/01/2016, 18:41

poi va be', ora che ci penso questo ragionamento si può anche estendere a un qualsiasi n, evitando quindi l'induzione...
mentre il mondo persiste nei suoi sanguinosi conflitti, la vera guerra è combattuta dai matematici
bern1-16-4-13
 
Messaggi: 179
Iscritto il: 27/11/2014, 22:10
Località: Firenze

Re: 103. [L02] $-1$

Messaggioda Gerald Lambeau » 04/01/2016, 18:48

Perfetto!
Vai con il prossimo.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: 103. [L02] $-1$

Messaggioda bern1-16-4-13 » 04/01/2016, 19:05

appena ho qualcosa :)
mentre il mondo persiste nei suoi sanguinosi conflitti, la vera guerra è combattuta dai matematici
bern1-16-4-13
 
Messaggi: 179
Iscritto il: 27/11/2014, 22:10
Località: Firenze


Torna a Combinatoria e Probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite