102. [L04] Percorsi sul piano

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda mr96 » 03/01/2016, 16:29

Due persone, che chiameremo fantasiosamente Alberto e Barbara, sono posizionati sul piano. Alberto inizialmente è alle coordinate [tex](0,0)[/tex], Barbara a [tex](1,0)[/tex]. Alberto fa [tex]3[/tex] passi in direzioni casuali, ma sempre seguendo le linee dei quadretti, Barbara, allo stesso modo, ne fa [tex]2[/tex]. Qual è la probabilità che adesso la distanza di Barbara dall'origine sia minore o uguale alla distanza di Alberto?
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Re: 102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda Gerald Lambeau » 03/01/2016, 17:55

Spero di riuscire a spiegarmi bene...



Osservazione: se guardiamo la somma delle coordinate alla fine entrambi avranno somma dispari; dato che per avere distanza $\le 1$ nei punti a coordinate intere i due punti devono essere coincidenti oppure avere esattamente una coordinata che dista esattamente di $1$, e dato che il secondo caso non è possibile perché altrimenti avrebbero somme con parità diverse, ne deduciamo che i casi favorevoli cercati sono tutti e soli quelli dove i due punti finiranno per coincidere.



Puntualizzazione: conterò più volte i casi che si possono verificare in modo diverso, ad esempio Barbara può tornare in $(1, 0)$ in quattro modi: (su, giù), (giù, su), (sinistra, destra) e (destra, sinistra).



Contiamo tutti i casi possibili: $4$ opzioni possibile per ognuna delle scelte, $3$ scelte per Alberto e $2$ per Barbara, in totale $4^5=1024$ casi possibili.



Contiamo i casi favorevoli. Ora, siccome Barbara ha meno opzioni troviamo tutti punti dove può arrivare, contando anche in quanti modi può arrivarci, e moltiplichiamo, per ogni punto, il numero di modi in cui può arrivarci Barbara per il numero di modi in cui può arrivarci Alberto. Sommando tutti questi prodotti troviamo il numero di casi favorevoli. NB: non spiegherò né perché sono certo che i punti che ho trovato per Barbara siano tutti quelli e soli quelli possibili né mostrerò esplicitamente i modi per arrivare in quei punti per alcuno dei due, altrimenti diventerebbe estremamente lungo e noioso; se servisse, li posterò in seguito.

Punto $(1, 0)$: $4$ modi per Barbara e $9$ per Alberto; $4 \cdot 9=36$.
$(3, 0)$: $1$ e $1$; $1 \cdot 1=1$.
$(1, 2)$: $1 \cdot 3=3$.
$(2, 1)$: $2 \cdot 3=6$.
$(-1, 0)$: $1 \cdot 9=9$.
$(1, -2)$: $1 \cdot 3=3$.
$(0, -1)$: $2 \cdot 9=18$.
$(2, -1)$: $2 \cdot 3=6$.
$(0, 1)$: $2 \cdot 9=18$.
$36+1+3+6+9+3+18+6+18=100$ casi favorevoli.
Notare come effettivamente il numero di casi possibili per Barbara siano una riprova: sommando il numero di tutti i casi possibili per ogni punto per lei, $4+1+1+2+1+1+2+2+2=26$, otteniamo proprio il numero di casi possibili per lei ($4$ opzione, $2$ scelte, $4^2=16$ casi possibili).

In conclusione, la probabilità richiesta è $\displaystyle \frac{100}{1024}=\frac{25}{256}$.
MEGA EDIT: soluzione al vecchio testo
Ultima modifica di Gerald Lambeau il 03/01/2016, 19:40, modificato 4 volte in totale.
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Re: 102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda Gerald Lambeau » 03/01/2016, 17:58

Fonte? Ora che ci faccio caso sembra uno di quei problemi da GaS dove chiedono somma di numeratore e denominatore ridotti ai minimi termini (e in quel caso avrei dovuto rispondere $1097$ :D ).
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Re: 102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda mr96 » 03/01/2016, 18:11

Gerald Lambeau ha scritto:Fonte? Ora che ci faccio caso sembra uno di quei problemi da GaS dove chiedono somma di numeratore e denominatore ridotti ai minimi termini (e in quel caso avrei dovuto rispondere $1097$ :D ).

Effettivamente chiedeva la somma, ma consegnando [tex]1097[/tex] avresti ottenuto un bel quadratino rosso con la scritta [tex]-10[/tex] :lol:
La fonte non la ricordo, ma di sicuro non è una gara recente, l'ho visto parecchio tempo fa... Non ho controllato il procedimento perchè vado di fretta, domani vedo meglio, ma il risultato numerico è sbagliato.
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Re: 102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda Gerald Lambeau » 03/01/2016, 18:29

Ok, ho corretto, adesso mi viene $\displaystyle \frac{25}{256}$, quindi spero che $0281$ cambi quel bel quadratino rosso in un bellissimo quadrato verde :D.
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Re: 102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda mr96 » 03/01/2016, 18:41

L'avevi per caso messo come jolly? Perchè in quel caso sarebbero $-40$. Comunque ti ripeto che non ho visto il procedimento, magari non hai capito il testo o altro, quindi se vuoi riprovarci fai pure, domani lo guardo!
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Re: 102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda Gerald Lambeau » 03/01/2016, 18:47

Che figura... tranquillo che è un errore di conti, continuerò a provare!
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Re: 102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda Gerald Lambeau » 03/01/2016, 19:11

Ma sei sicuro? Ho controllato e ricontrollato, anche graficamente, dovrebbe essere tutto perfetto... Forse hai ragione tu, ci dev'essere qualcosa che mi è sfuggito nel testo, ma non riesco a vedere cosa...
Tu sei sicuro che la soluzione che ti ricordi sia quella giusta? Vabbè io continuo a controllare ma penso che smetterò presto.
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Re: 102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda bern1-16-4-13 » 03/01/2016, 19:13

Ma far fare due passi a Barbara è equivalente a far fare due passi a Alberto nella direzione opposta... Quindi il problema è equivalente a far fare 5 passi ad Alberto. Poi il fatto che la distanza finale sia minore o uguale alla distanza di partenza per questioni di parità è equivalente a minore stretto (immaginando ogni nodo come casella di una scacchiera...). Quindi alla fine Alberto dopo le 5 mosse arriva sulla casella di Barbara. I casi da analizzare adesso sono veramente pochi
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Re: 102. [L04] Percorsi sul piano

Messaggioda bern1-16-4-13 » 03/01/2016, 19:14

Però anche a me viene la soluzione di Gerald :shock:
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