101. Selezione 98'

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Re: 101. Selezione 98'

Messaggioda mr96 » 06/07/2015, 13:42

Hinta qualcosa, altrimenti non ci muoviamo. O al massimo lo faccio io, ma ho già visto la soluzione, quindi non sarebbe molto corretto.
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Re: 101. Selezione 98'

Messaggioda mr96 » 03/01/2016, 16:11

Abbattiamo anche questo va: il risultato è [tex]26^3\cdot10^3[/tex].

Dimostriamo che non può essere maggiore: chiamiamo [tex]A[/tex] il nostro insieme della targhe, prendiamo [tex]B[/tex] tale che [tex]|B|>|A|[/tex]. Partizioniamo [tex]A[/tex] in sottoinsiemi [tex]A_k[/tex] tali che ogni sottoinsieme contenga solo targhe con le ultime [tex]6[/tex] posizioni uguali: [tex]|A_k|=26[/tex] per ogni [tex]k[/tex], ma se proviamo a partizionare nello stesso numero di insiemi anche [tex]B[/tex] per pigeonhole ci sarà un [tex]B_j[/tex] tale che [tex]|B_j|>26[/tex], contro le ipotesi.

Mostriamo che si può fare: numeriamo le lettere da [tex]0[/tex] a [tex]25[/tex], mettiamo "a caso" i primi [tex]6[/tex] numeri e come settimo mettiamo la somma dei primi [tex]6[/tex] [tex]\pmod{26}[/tex]. Chiaramente le targhe fattibili sono [tex]26^3\cdot10^3[/tex], mostriamo che, prese a coppie, rispettano le ipotesi:
  • Se nelle prime [tex]6[/tex] ci sono già due numeri distinti abbiamo vinto
  • Se nelle prime [tex]6[/tex] c'è un solo numero distinto è impossibile che la somma dia la stessa classe [tex]\pmod{26}[/tex]
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